Betrag und Richtung
Ein Vektor hat eine Länge und eine Richtung. Die Länge, der Betrag, folgt aus dem Satz des Pythagoras: Der Vektor (3; 4) ist 5 lang. Teilt man einen Vektor durch seinen Betrag, erhält man den Einheitsvektor mit Länge 1 in dieselbe Richtung.
Skalarprodukt und Winkel
Das Skalarprodukt multipliziert die Komponenten paarweise und addiert sie. Das Ergebnis ist eine Zahl. Ist sie null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Über das Skalarprodukt berechnet man auch den Winkel: cos α = (a · b) / (|a| · |b|).
Kreuzprodukt
Nur im dreidimensionalen Raum gibt es das Kreuzprodukt. Es liefert einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Sein Betrag ist die Fläche des Parallelogramms, das a und b aufspannen. In der Physik steckt es etwa im Drehmoment.
Formel
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
cos α = a · b / (|a| |b|)Beispielrechnung
Eingaben
- Vektor a: 3 4 0
- Vektor b: 1 0 2
Ergebnis
- |a|: 5
- |b|: 2,23606798
- a + b: (4; 4; 2)
- a − b: (2; 4; -2)
- Skalarprodukt a · b: 3