Mitternachtsformel
Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Form ax² + bx + c = 0 bringen. Die Lösungen liefert die abc-Formel, in Süddeutschland Mitternachtsformel genannt, weil Schüler sie auch nachts um zwölf aufsagen können sollen: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
Die Diskriminante
Der Ausdruck unter der Wurzel, D = b² − 4ac, entscheidet über die Zahl der Lösungen. Ist D positiv, gibt es zwei reelle Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Ist D null, gibt es genau eine, die Parabel berührt die Achse im Scheitelpunkt. Ist D negativ, gibt es keine reelle Lösung, sondern zwei komplexe.
pq-Formel
Teilt man die Gleichung durch a, entsteht die Normalform x² + px + q = 0. Dann gilt x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Beide Formeln führen zum selben Ergebnis. Der Rechner zeigt p und q mit an, damit Sie den Rechenweg nachvollziehen können.
Formel
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Beispielrechnung
Eingaben
- a: 1
- b: -3
- c: 2
Ergebnis
- Lösungen: x₁ = 2, x₂ = 1
- Diskriminante D: 1
- Linearfaktoren: 1(x − 2)(x − 1)
- Scheitelpunkt: S(1,5 | -0,25)
- p und q für die pq-Formel: p = -3, q = 2