Welche Angaben reichen?
Ein Dreieck ist durch drei passende Angaben eindeutig bestimmt. Die Kongruenzsätze nennen die Fälle: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SWS) sowie eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW). Die Bezeichnung folgt der Konvention: Seite a liegt dem Winkel α gegenüber, b gegenüber β, c gegenüber γ.
Kosinussatz und Sinussatz
Aus drei Seiten berechnet der Rechner die Winkel mit dem Kosinussatz: a² = b² + c² − 2bc · cos α. Bei einem rechten Winkel wird der Kosinus null, und übrig bleibt der Satz des Pythagoras. Sind Winkel bekannt, folgen die übrigen Seiten aus dem Sinussatz: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Die Innenwinkel summieren sich immer zu 180°.
Fläche nach Heron
Die Fläche ergibt sich ohne Höhe aus den drei Seiten mit der Formel des Heron: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), wobei s der halbe Umfang ist.
Formel
a² = b² + c² − 2bc · cos α
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2Beispielrechnung
Eingaben
- Bekannt sind: drei Seiten a, b, c
- Seite a: 3
- Seite b: 4
- Seite c: 5
Ergebnis
- Seiten: a = 3, b = 4, c = 5
- Winkel: α = 36,8699°, β = 53,1301°, γ = 90°
- Fläche: 6
- Umfang: 12
- Höhen: h_a = 4, h_b = 3, h_c = 2,4